Рас­смот­рим ос­но­ва­ние пи­ра­ми­ды  — тре­уголь­ник ABC. Пусть сто­ро­на AB равна x. В рав­но­сто­рон­нем тре­уголь­ни­ке ме­ди­а­ны, бис­сек­три­сы и вы­со­ты равны, по­это­му, рас­смат­ри­вая тре­уголь­ник ABH, где AH  — вы­со­та, имеем:

Рас­смот­рим те­перь тре­уголь­ник Про­ве­дем вы­со­ту SK, тогда: Пло­щадь бо­ко­вой по­верх­но­сти равна

Ответ: 60.

По­сколь­ку шар впи­сан в приз­му, то окруж­ность боль­шо­го круга шара впи­сы­ва­ет­ся в ос­но­ва­ние приз­мы, т. е. в тре­уголь­ник. Ис­хо­дя из этого, пло­щадь ос­но­ва­ния приз­мы равна где P  — пе­ри­метр ос­но­ва­ния приз­мы, r  — ра­ди­ус шара. Кроме того, вы­со­та приз­мы равна диа­мет­ру шара, т. е.

Пло­щадь пол­ной по­верх­но­сти пря­мой тре­уголь­ной приз­мы равна (a, b, c  — сто­ро­ны ос­но­ва­ния приз­мы):

Ответ: 45.

Катет, ле­жа­щий на­про­тив угла в 30° равен по­ло­ви­не ги­по­те­ну­зы, тогда один из ка­те­тов равен 3.

Най­дем длину вто­ро­го ка­те­та по тео­ре­ме Пи­фа­го­ра: Тогда пло­щадь ос­но­ва­ния равна

Ос­но­ва­ние пред­став­ля­ет собой сумму про­ек­ций бо­ко­вых сто­рон, таким об­ра­зом

Ответ: 45.

Рас­смот­рим раз­верт­ку приз­мы. Точки A, C, A₁ лежат на одной пря­мой, сле­до­ва­тель­но, длина AA₁ равна Из точки А про­ве­дем пер­пен­ди­ку­ляр AH к пря­мой CB и пер­пен­ди­ку­ляр AH₁ к про­дол­же­нию от­рез­ка A₁A Точка H делит сто­ро­ну CB рав­но­сто­рон­не­го тре­уголь­ни­ка ABC по­по­лам, так как яв­ля­ет­ся вы­со­той и ме­ди­а­ной. Сто­ро­на тре­уголь­ни­ка ABC равна A₁C₁, тре­уголь­ни­ки ABC и A₁B₁C₁ равны. Пря­мо­уголь­ные тре­уголь­ни­ки AA₁H₁ и ACH по­доб­ны по двум углам. При­мем длину сто­ро­ны тре­уголь­ни­ка ABC за x, x > 0, со­ста­вим урав­не­ние:

Длина A₁C равна раз­но­сти длин AA₁ и AC, то есть При­мем за a сто­ро­ну AA₁ пря­мо­уголь­ни­ка AA₁C₁C, a > 0. По тео­ре­ме Пи­фа­го­ра в тре­уголь­ни­ке AA₁C:

Пло­щадь бо­ко­вой по­верх­но­сти приз­мы равна утро­ен­ной пло­ща­ди пря­мо­уголь­ни­ка AA₁C₁C. Имеем:

Ответ: 3.